受限分配情形下的子模圣诞老人问题

子模圣诞老人问题由Goemans、Harvey、Iwata和Mirrokni（SODA'09）在其开创性工作中作为结构结果的应用而提出。在上述问题中，$n$个不可分资源须分配给$m$个玩家，每个玩家具有单调子模效用函数$f_i$。目标是最大化$\min_i f_i(S_i)$，其中$S_1,\dotsc,S_m$为资源的一个划分。Goemans等人的结果意味着一个多项式时间$O(n^{1/2 +\varepsilon})$-近似算法。此后该问题的进展仅限于线性情形，即所有$f_i$均为线性函数。特别地，一系列研究表明，在受限分配情形下，对线性估值函数存在多项式时间常数近似算法。这是特殊情形：每个玩家被给定一组期望资源$\Gamma_i$，且个体估值函数定义为$f_i(S) = f(S \cap \Gamma_i)$，其中$f$为全局线性函数。这也可解释为在附加分配限制下最大化$\min_i f(S_i)$，即资源只能分配给特定玩家。本文中，我们针对子模变体取得了可比拟的进展。具体而言，若$f$为单调子模函数，我们可在多项式时间内计算出一个$O(\log\log(n))$-近似解。