针对包含限制下资源分配问题有序实例的 PTAS

我们考虑将包含 $m$ 个不可分割资源（物品）的集合 $I$ 分配给竞争这些资源的 $n$ 个顾客（参与者）集合 $P$ 的问题。每个资源 $j \in I$ 对感兴趣 $j$ 的顾客子集具有相同的价值 $v_j > 0$，对其余顾客价值为零。每个顾客获得的效用是分配给她的资源价值之和。目标是找到一种将资源分配给感兴趣顾客的可行分配方案，使得对于 Max-Min 分配问题（Min-Max 分配问题），顾客所获效用的最小值（最大值）被最大化（最小化）。Max-Min 分配问题也称为 \textit{公平分配问题} 或 \textit{圣诞老人问题}。Min-Max 分配问题是非相关并行机器调度问题，也称为 $R \, | \, | C_{\max}$ 问题。在本文中，我们关注该问题中存在多项式时间近似方案（PTAS）的实例。我们证明了资源和顾客上的排序性质是重要的，并为 PTAS 铺平了道路。对于 Max-Min 分配问题，我们从可视为 \textit{凸二部图} 的问题实例开始；这是一种二部图，存在一种资源排序，使得每个顾客对一组 \textit{连续的} 资源感兴趣（具有正评价）。我们展示了无包含情况下的 PTAS。这类实例等价于二部置换图类。对于 Min-Max 分配问题，我们也得到了无包含实例的 PTAS。这些实例不仅具有理论意义，还具有实际应用。