不可分混合资源：关于 MMS + PO 分配的可计算性

本文开创性地研究了不可分混合资源的公平与有效分配：在最大最小份额（MMS）公平性与帕累托最优（PO）有效性概念下，将 m 个不可分物品分配给 n 个智能体。混合资源允许某物品对部分智能体为好物，对另一些为 chores（厌恶物）。寻找存在性对应的（近似）最佳 $\alpha\in(0,1]$ 的 $\alpha$-MMS 分配，即便对常数个智能体的好物资源仍未解决；而任意 $\alpha\in(0,1]$ 的 $\alpha$-MMS+PO 分配问题则尚无人探索。我们在混合资源上对上述问题的研究取得显著进展。首先，我们证明对任意 $\alpha>0$，$\alpha$-MMS 分配未必总存在，从而排除了以固定 $\alpha$ 求解的可能。其次，为计算最佳可能 $\alpha$ 的 $\alpha$-MMS+PO 分配，我们得到二分结果：导出两个条件并证明在此两条件下问题可解，而去掉任一条件则问题不可解。两条件为：(i) 智能体数为常数，以及 (ii) 对每个智能体，其对所有物品的绝对价值至少为其对所有好物或所有 chores 总（绝对）价值的常数倍。具体而言，首先，对满足 (i) 和 (ii) 的实例，我们设计了 PTAS——给定 $\epsilon,\gamma>0$，可高效找到最高可能 $\alpha\in(0,1]$ 下的 $(\alpha-\epsilon)$-MMS 与 $\gamma$-PO 分配。其次，我们证明若不满足任一条件，则对任意 $\alpha\in(0,1]$ 寻找 $\alpha$-MMS 分配是 NP-hard 的，即便 $\alpha=1$ 时解存在。据我们所知，我们的算法是首个同时保证近似 MMS 与 PO 的算法。