基数约束下单调子模函数的多目标最大化

我们考虑基数约束下单调子模函数的多目标最大化问题，常表述为 $\max_{|A|=k}\min_{i\in\{1,\dots,m\}}f_i(A)$。尽管广泛知晓贪心方法对单一目标效果良好，多目标下问题变得困难得多。事实上，Krause 等人（2008）表明当目标数 $m$ 随基数 $k$ 增长即 $m=\Omega(k)$ 时，问题是不可近似的（除非 $P=NP$）。另一方面，当 $m$ 为常数时 Chekuri 等人（2010）给出了随机化 $(1-1/e)-\epsilon$ 近似，运行时间（对函数预言机的查询次数）为 $n^{m/\epsilon^3}$。我们聚焦于寻找一种快速且实用的算法，即便 $m$ 为超常数也具有（渐近）近似保证。我们首先修改 Chekuri 等人（2010）的算法，对 $m=o(\frac{k}{\log^3 k})$ 实现 $(1-1/e)$ 近似。这展示了在 $m=\Omega(k)$ 附近从常数因子可近似性到不可近似性的急剧转变。然后使用乘性权重更新（MWU），我们找到快得多的 $\tilde{O}(n/\delta^3)$ 时间渐近 $(1-1/e)^2-\delta$ 近似。尽管上述结果均为随机化，我们也给出了简单确定性 $(1-1/e)-\epsilon$ 近似，运行时间 $kn^{m/\epsilon^4}$。最后，我们使用 Kronecker 图进行合成实验，发现受 MWU 启发的启发式算法优于现有启发式算法。