在相关聚类中对所有 $\ell_p$-范数同时近似

本文研究无权重完全图上的相关聚类问题。我们给出一种组合算法，其返回的唯一聚类解对所有 $\ell_p$-范数下的不一致向量的误差同时达到 $O(1)$ 近似；换言之，是对相关聚类的全范数目标的一种组合 $O(1)$-近似。这首次证明了为优化不一致向量的不同范数仅需极小的牺牲。此外，我们的算法是针对 $\ell_2$-范数目标的第一个组合近似算法，更一般地，也是针对 $1 < p < \infty$ 时 $\ell_p$-范数目标的第一个组合算法。它也比所有此前最小化不一致向量 $\ell_p$-范数的算法更快，运行时间为 $O(n^\omega)$，其中 $O(n^\omega)$ 为 $n \times n$ 矩阵乘法的时间。当图中最大正度不超过 $\Delta$ 时，运行时间可改进为 $O(n\Delta^2 \log n)$。