在线相关聚类：同时优化所有 $\ell_p$ 范数

$\ell_p$ 范数目标在相关聚类中在最小化总不一致量（$\ell_1$ 范数）和确保对 individual 节点的公平性（$\ell_\infty$ 范数）之间呈现基本权衡。令人惊讶的是，在离线环境中，可以用单一聚类同时逼近所有 $\ell_p$ 范数。这种强大的保证能否在在线环境中实现？本文给出首个肯定回答。我们提出一种针对 online-with-a-sample（AOS）模型的单一算法，该模型在给定输入的一小部分样本后，能够以高概率对所有 $\ell_p$ 范数实现 $O(\log^4 n)$ 竞争比，对 $\ell_\infty$ 范数以高概率实现 $O(\log n)$ 竞争比，并对 $\ell_1$ 范数在期望下实现 $O(1)$ 竞争比。这一工作成功地将离线“全范数”保证转化为在线环境。我们的设置受到了新的硬性结果的启发，证明在标准随机顺序（RO）在线模型中，这些目标之间存在根本性分离。也就是说，虽然 $\ell_1$ 范数在 RO 模型中平凡可 $O(1)$ 近似，但我们证明在 RO 模型中针对公平性导向的 $\ell_\infty$ 范数的任何算法都必须具有至少 $\Omega(n^{1/3})$ 的竞争比。这凸显了不同于最坏情况模型的必要性。我们补充了下界，表明在 AOS 模型中，$\ell_1$ 和 $\ell_\infty$ 范数的竞争比几乎是紧密的。