在线平衡聚类的改进分析

在在线平衡图重划分问题中，必须将$n$个节点维持划分为$\ell$个簇，每个簇有$k = n / \ell$个节点。在运行过程中，在线算法获得节点对之间通信请求的流：簇间通信代价为一个单位，而簇内通信免费。算法可改变划分，为每个移动的节点支付单位代价。这一自然问题存在一个简单的$O(\ell^2 \cdot k^2)$-竞争算法COMP，其性能远落后于已知最佳下界$\Omega(\ell \cdot k)$。开放问题之一是$\ell$的依赖能否变为线性；该问题具有实际重要性，因为在典型的数据中心应用中（虚拟机在物理服务器上聚类），$\ell$比$k$大几个数量级。我们肯定地回答了该问题，证明COMP的一个简单修改是$(\ell \cdot 2^{O(k)})$-竞争的。在技术层面，我们通过将问题转化为线性整数方程组并使用Graver基来证明存在“小”解，从而得到该界。