改进且基于预言机高效的在线 $\ell_1$-多校准

我们研究在线多校准——一种在对抗性设置下确保跨多个组的预测校准的框架，涵盖 $T$ 轮。虽然在线校准通常研究 $\ell_1$ 范数，但此前在线多校准的方法采用间接途径，先在其他范数（如 $\ell_2$ 和 $\ell_{\infty}$）中获得速率，再以额外损失将这些保证转移到 $\ell_1$。相比之下，我们提出了一种直接方法，分别实现了 $\widetilde{\mathcal{O}}(T^{-1/3})$ 和 $\widetilde{\mathcal{O}}(T^{-1/4})$ 的改进且预言机高效的在线 $\ell_1$-多校准速率。我们的关键洞察是将在线 $\ell_1$-多校准归约为一种具有乘积奖励的在线学习问题，我们称之为在线线性-乘积优化（OLPO）。为获得 $\widetilde{\mathcal{O}}(T^{-1/3})$ 的改进速率，我们引入了 OLPO 的线性化并为此线性化问题设计了无悔算法。尽管该方法保证了所需的次线性速率（接近在线校准的最佳速率），但当组族 $\mathcal{H}$ 很大或无限时，由于枚举了所有可能的组，其计算代价高昂。为解决可扩展性问题，我们提出了 OLPO 的第二种方法，仅对离线优化（多校准评估）预言机进行多项式次调用，从而实现了速率为 $\widetilde{\mathcal{O}}(T^{-1/4})$ 的预言机高效在线 $\ell_1$-多校准。我们的框架还通过利用 $\ell_1$-多校准误差相对于 $\mathcal{H}$ 的 1-Lipschitz 性质，扩展到某些无限组族（例如上下文空间上的所有线性函数）。