基于邻域相似性的最小最大相关聚类

我们提出了一种用于解决最小最大相关聚类问题的高效算法。该问题的输入是一张标记为正(+)或负(-)的完全图，目标是找到一种聚类，以最小化所有顶点上不同步向量的$\ell_{\infty}$-范数。我们以一种高效的$(3 + \epsilon)$近似算法解决了这一问题，运行时间为准线性时间，$\tilde{O}(|E^+|)$，其中$|E^+|$表示正边的数量。这改进了Heidrich、Irmai和Andres先前已知的最佳近似保证为4的算法，其算法运行时间为$O(|V|^2 + |V| D^2)$，其中$|V|$是节点数，$D$是图中最大度。此外，我们将算法扩展到大规模并行计算(MPC)模型和半流式模型。在MPC模型中，算法在内存为节点数的亚线性内存的机器上运行，耗时$O(1)$轮。在流式模型中，算法仅需要$\tilde{O}(|V|)$空间，其中$|V|$是图中顶点的数量。我们的算法纯粹是组合的。它们基于关于最优最小最大实例的一种新型结构观察，使我们能够使用$O(|E^+|)$邻域相似性查询构建$(3 + \epsilon)$近似算法。通过利用随机投影，我们进一步显示这些查询可以在准线性时间内计算。