针对少数不同类别无关机器调度的高效多项式时间近似方案

在经典的无关并行机器调度问题中，必须将一组作业分配给一组机器。作业具有依赖于机器的处理时间，目标是最小化最大完工时间（makespan），即最大机器负载。众所周知，该问题是NP难的，并且除非P=NP，否则不允许近似保证小于$1.5$的多项式时间近似算法。我们考虑仅存在常数个机器类型$K$的情况。如果两台机器上所有作业的处理时间相同，则它们具有相同类型。该问题的这种变体即使对于$K=1$也是强NP难的。我们提出了该问题的一个高效多项式时间近似方案（EPTAS），即对于任意$\varepsilon > 0$，可以在输入长度的多项式时间内找到最大完工时间长度不超过最优值$(1+\varepsilon)$倍的分配，且指数部分与$1/\varepsilon$无关。特别地，我们实现了$2^{\mathcal{O}(K\log(K) \frac{1}{\varepsilon}\log^4 \frac{1}{\varepsilon})}+\mathrm{poly}(|I|)$的运行时间，其中$|I|$表示输入长度。此外，我们研究了其他三个问题变体并为每个变体提出了EPTAS：圣诞老人问题（Santa Claus problem），其中必须最大化最小机器负载；具有常数个一致类型的无关并行机器调度情况，其中同类型机器的行为类似于均匀相关机器；以及该问题的多维向量调度变体，其中维度和机器类型数均为常数。对于圣诞老人问题，我们实现了相同的运行时间。这些结果是使用混合整数线性规划和舍入技术取得的。