最小$\ell_q$-范数负载均衡的紧运行时间：超越关于$1/\epsilon$的指数依赖

我们考虑m台相同机器上的经典调度问题。对于任意常数q>1，目标是将作业分配给机器，使$\sum_{i=1}^m C_i^q$最小，其中$C_i$是分配给机器i的作业总处理时间。众所周知该问题是强NP难的。在温和假设下，强NP难问题的$(1+\epsilon)$-近似算法的运行时间不可能在$1/\epsilon$上为多项式，除非$\text{P}=\text{NP}$。对文献中多数问题，这转化为运行时间至少为$2^{\Omega(1/\varepsilon)}+n^{O(1)}$的算法。对上述自然调度问题，我们确立了突破该阈值的算法存在。更确切地说，我们设计了一个在$2^{\tilde{O}(\sqrt{1/\epsilon})}+n^{O(1)}$时间内运行的PTAS。该结果与密切相关的最小makespan变体形成鲜明对比，后者在指数时间假设(ETH)下已知有指数下界。我们以本质上匹配的运行时间下界补充了我们的结果，表明我们的算法在ETH下是最优的。下界证明利用了用于无 progression-free 集变体的新数论构造，这可能具有独立意义。此外，我们给出了该问题PTAS运行时间随$\epsilon$与机器数$m$关系的细粒度刻画。更确切地说，我们的下界仅当$m=\Theta(\sqrt{1/\epsilon})$时成立。对其他$m$值存在超越下界的更好算法。特别地，若限制实例满足$m=\Omega(1/\epsilon\log^21/\epsilon)$，甚至存在运行时间在$1/\epsilon$上为多项式的算法。