关于固定数量并行同构机器调度问题的复杂性

在并行机器调度中，给定一组作业以及若干机器，我们的目标是决定每个作业应在何时及在哪台机器上调度，以最小化某个目标函数。不同的机器模型、作业特征与目标函数导致了大量调度问题，其中许多是 NP 难的，即便对于固定数量的同构机器也是如此。本文中，我们针对大量调度问题给出条件运行时间下界，表明某些经典算法的最优性。最值得注意的是，我们表明 Lawler 与 Moore 用于 $1||\sum w_jU_j$ 和 $Pm||C_{max}$ 的算法，以及 Lee 与 Uzsoy 用于 $P2||\sum w_jC_j$ 的算法很可能是最优的。Zhang 等人用于 $1|Rej\leq Q|\sum w_jU_j$ 的算法、Lawler 用于 $1||\sum T_j$ 的算法以及 Gens 与 Levner 用于 $1||\sum w_jU_j$ 的 FPTAS 仍有较小的改进空间。我们还给出了 $P2|any|C_{max}$ 的一个下界，并将 Du 与 Leung 的动态规划从 $\mathcal{O}(nP^2)$ 改进至 $\mathcal{O}(nP)$，与该新下界相匹配。此处 $P$ 为所有处理时间之和。同一思路还将 Du 与 Leung 用于 $P3|any|C_{max}$ 的算法从 $\mathcal{O}(nP^5)$ 改进至 $\mathcal{O}(nP^2)$。尽管我们的结果表明某些经典算法的最优性，它们也促使在未来研究中关注那些已知最佳算法尚未完全匹配下界的情况。