一种更简单的带优先约束作业调度问题的QPTAS

我们研究经典的调度问题：在并行同构机器上最小化一组具有优先约束的单位大小作业的完工时间。对该问题的研究可追溯到Graham于1966年发表的里程碑式论文，其中表明简单的列表调度算法是$(2-\frac{1}{m})$-近似。有趣的是，当$m=3$时该问题是否为NP难仍是开放问题，这是Garey和Johnson经典著作中少数几个未解决的问题之一。最近，在$m$为常数的情况下取得了相当大的进展。在一篇突破性论文中，Levey和Rothvoss提出了一个$(1+\epsilon)$-近似算法，运行时间为$n^{(\log n)^{O((m^{2}/\epsilon^{2})\log\log n)}}$[STOC 2016, SICOMP 2019]，随后Garg[ICALP 2018]将其改进为准多项式时间，Li[SODA 2021]进一步改进为$n^{O_{m,\epsilon}(\log^{3}\log n)}$。这些结果使用了LP层次、对某些精心选择的作业进行条件化以及抽象（如部分二元系统和虚拟有效调度）等技术。在本文中，我们提出了一个该问题的QPTAS，它比之前的算法更简单。我们只需猜测最优解中某些作业的位置，在一组猜测的子区间上递归，并用贪心例程填充剩余作业。我们相信我们的分析也更容易理解，特别是因为我们没有使用LP层次或上述问题抽象，而是直接猜测最优解的性质。