通过组合算法迈向带优先约束调度问题的PTAS

我们研究经典问题：在 $m = O(1)$ 台机器上调度 $n$ 个带优先约束的单位尺寸作业以最小化最大完工时间。在最近的一项突破中，Levey 和 Rothvoss \cite{LR16} 通过将该问题的基本线性规划松弛经 $\exp\Big(O\big(\frac{m^2}{\epsilon^2}\log^2\log n\big)\Big)$ 层 Sherali-Adams 提升，给出了该问题的 $(1+\epsilon)$-近似算法，其运行时间为 $\exp\Big(\exp\Big(O\big(\frac{m^2}{\epsilon^2}\log^2\log n\big)\Big)\Big)$。Garg \cite{Garg18} 最近将层数改进为 $\log ^{O(m^2/\epsilon^2)}n$，从而将运行时间改进为 $\exp\big(\log ^{O(m^2/\epsilon^2)}n\big)$，对于常数 $m$ 和 $\epsilon$ 该时间为拟多项式。本文提出一种算法，以运行时间 $n^{O\left(\frac{m^4}{\epsilon^3}\log^3\log n\right)}$ 实现该问题的 $(1+\epsilon)$-近似，对于常数 $m$ 和 $\epsilon$ 该时间非常接近多项式。与基于线性规划层级的 Levey-Rothvoss 和 Garg 算法不同，我们的算法是纯组合的。针对该问题，我们表明对提升后 LP 解的条件作用操作可被对最优调度的猜测所替代。