高维沙堆孤子

设 $p\in\mathbb Z^n$ 为本原向量，$\Psi:\mathbb Z^n\to \mathbb Z, z\to \min(p\cdot z, 0)$。{\it 去壳（husking）}理论使我们能够证明，在所有“在无穷远处”等于 $\Psi$ 的整数值超调和函数中，存在一个逐点最小的函数。我们将此结果应用于 $\mathbb Z^n$ 上的沙堆模型。我们证明了沙堆模型中所谓{\it 孤子（solitons）}的存在性，该孤子由 S. Caracciolo、G. Paoletti 和 A. Sportiello 在二维情形中发现，并由作者与 M. Shkolnikov 在先前论文中研究过。我们证明，与二维情形类似，使用我们的去壳过程定义的沙堆态在施加沙堆波算子时保持不变地移动（这正是我们称其为孤子的原因）。我们对每个除顶点外不含格点的格点多面体 $A$ 证明了类似结果。即，对每个函数 $$\Psi:\mathbb Z^n\to \mathbb Z, z\to \min_{p\in A\cap \mathbb Z^n}(p\cdot z+c_p), c_p\in \mathbb Z$$ 在所有与 $\Psi$“在无穷远处”一致的整值超调和函数中存在逐点最小的函数。后者的拉普拉斯算子对应于当由 $A$ 的边所对应的孤子相交时我们所观察到的现象（见图~1）。