具有指定范数的 $S_4$-四次扩张

给定一个数域 $k$ 与一个有限生成子群 $\mathcal{A} \subseteq k^*$，我们研究 $k$ 的 $S_4$-四次扩张的分布，使得 $\mathcal{A}$ 中的元素均为范数。我们证明此类扩张的密度等于在 $k$ 每个位上的所谓“局部质量”之积。我们几乎在所有情形下显式给出这些局部质量，并给出计算剩余情形的算法。