带边界复流形上的 $S^1$-等变指标定理与莫尔斯不等式

设 $M$ 为维数 $n$ 且具有光滑连通边界 $X$ 的复流形。假设 $\overline M$ 容许一个保持边界 $X$ 的全纯 $S^1$-作用，且该 $S^1$-作用在 $X$ 上横截。我们证明 $M$ 上的 $\overline\partial$-诺伊曼拉普拉斯算子是横截椭圆的，并由此推出，对每个 $m\in\mathbb Z$ 和每个 $q=0,1,\ldots,n$，第 $q$ 个多贝尔上同调群 $H^q_m(\overline M)$ 的第 $m$ 个傅里叶分量是有限维的。这使我们能定义 $\sum^{n}_{j=0}(-1)^j{\rm dim\,}H^q_m(\overline M)$ 为 $M$ 上欧拉示性数的第 $m$ 个傅里叶分量，并研究 $H^q_m(\overline M)$ 的大 $m$ 渐近行为。本文建立了 $\sum^{n}_{j=0}(-1)^j{\rm dim\,}H^q_m(\overline M)$ 的指标公式以及 $H^q_m(\overline M)$ 的莫尔斯不等式。