数字平面上的旋转

设$A_{\varphi}$表示欧氏平面角为$\varphi$的旋转矩阵，FLOOR为将实点向下向左舍入至最近格点的函数，ROUND为将向量四舍五入至格点最近节点的函数。我们在自然假设$\varphi\not= k\frac{\pi}{2}$下证明函数$FLOOR \circ A_{\varphi}$与$ROUND \circ A_{\varphi}$既非满射也非单射。更精确地，我们给出了作为两个格点之像以及无原像格点的那些格点集合大小的上下估计。结果表明，除当$\sin \varphi \not= \pm \cos \varphi + r, r\in \mathbb{Q}$时，这些集合的密度均为正。