MOND 中光线引力偏转

我们使用修正牛顿动力学 (MOND) 计算由球形系统 $M(r)$ 的引力场对光射线的引力偏转角 $\Delta\phi$。结果表明，具有偏移参数 $r_0$ 的 $\Delta\phi$ 可由测量的旋转速度 $v(r)$ 表示为 $\Delta\phi(r_0)=2\int_{r_0}^{\infty} \frac{v^2(r)}{c^2}\frac{r_0dr}{r\sqrt{r^2-r_0^2}}$，其中 v(r)=\left\{ \left(Ga_0M(r)\right)^{1/4}, & r_0>r_c;\left(\frac{GM(r)}{r}\right)^{1/2},& r_0\leq r_c,\right，且 $r_c$ 为由临界加速度 $a_0$ 决定的临界半径。在引力加速度 $a\gg a_0$ 的牛顿极限下，$\Delta\phi$ 趋近于 $\Delta\phi=2gm(r_0)/c^2r_0$，其中 $m(r_0)$ 为投影面积质量。当 $a\ll a_0$ 的低加速度极限下，$\Delta\phi$ 的渐近值为常数 $\pi(v_{\infty}/c)^2$。考虑到从广义相对论理论中得出的因子为 2 的经验修正，并利用旋转速度 $v$ 与速度分散 $\sigma$ 之间的关系，MOND 自然地产生常数偏转角 $4\pi(\sigma/c)^2$，这在当今研究星系和星系团引力透镜现象中广泛使用，表明在不引入充当 $r^{-2}$ 形式暗物质巨型星系团的情况下，MOND 能够自然地再现与星系和星系团相关的已知引力透镜现象。