具有 Skorokhod $M_1$ 拓扑的旋转随机树

我们通过参数表示的概念，将利用连续偏移型函数对带测度的 $\mathbb R$-树进行的经典编码扩展到了 càdlàg 偏移型函数。这种扩展的主要特征在于其关于 $\mathbb R$-树的 Gromov-Hausdorff-Prokhorov 拓扑和 càdlàg 函数的 Skorokhod $M_1$ 拓扑的连续性性质。作为首个应用，我们研究了由谱正 $\alpha$-稳定 Lévy 过程（$\alpha \in (1,2]$）的偏移所编码的 $\mathbb R$-树 $\mathcal T_{x^{(\alpha)}}$。其次，我们利用这一设定来研究平面树和二叉树之间一种著名双射（即所谓的旋转）的大尺度效应。Marckert 已证明旋转在大型均匀树上表现为一种伸缩，我们证明了当旋转应用于后代分布吸引高斯分布的大型临界 Bienaymé 树时，这仍然成立。然而，当后代分布落入 $\alpha$-稳定律（$\alpha \in (1,2)$）的吸引域时，这不再成立，取而代之的是我们证明了旋转树的标度极限为 $\mathcal T_{x^{(\alpha)}}$。