交叉帽滑动与交叉帽对换的根

令 $N_{g}$ 表示亏格 $g$ 的闭不可定向曲面。对于 $g \geq 2$，映射类群 $\mathcal{M}(N_{g})$ 由 Dehn 扭转和一次交叉帽滑动（$Y$-同胚）生成，或由 Dehn 扭转和一个交叉帽对换生成。Margalit 与 Schleimer 观察到 Dehn 扭转具有非平凡根。我们给出了交叉帽滑动与交叉帽对换存在根的充分必要条件。