一般多重集上的带根拟Stirling排列

给定一个一般多重集 $\mathcal{M}=\{1^{m_1},2^{m_2},\ldots,n^{m_n}\}$，其中 $i$ 出现 $m_i$ 次，若 $\mathcal{M}$ 的一个多重排列 $\pi$ 不含形如 $abab$（其中 $a\neq b$）的子词，则称其为{\em 拟Stirling}的。我们指定 $\pi$ 中恰好一个元素，记为 $k\in \mathcal{M}$，其在所有同值元素中不是最左端的，并在 $\pi$ 中将其加下划线，称该对 $(\pi,k)$ 为 $\mathcal{M}$ 上以 $k$ 为根的拟Stirling多重排列。通过引入某些顶点与边带标号树，我们给出了 Yan、Yang、Huang 与 Zhu 的一个恒等式的新的双射证明，该恒等式将带根的拟Stirling多重排列按上升、下降与平台个数计数的枚举函数，与{\em 二元Eulerian多项式}的指数生成函数联系起来。该恒等式可视为 Elizalde 关于 $k$-拟Stirling排列结果的自然推广，而我们证明其的双射方法使我们能够：(1) 双射地证明一个涉及多重集上拟Stirling多项式的 Carlitz 型恒等式，该恒等式最初由 Yan 和 Zhu 得到；(2) 证实 Lin、Ma 和 Zhang 近期提出的部分 $\gamma$-正性猜想，并借助在拟Stirling多重排列上定义的两种新统计量——兄弟下降与双兄弟下降，给出 $\gamma$-组合系数的组合解释。