Roberts 型嵌入与横截 Tverberg 定理的逆向转换

以下是我们的两个主要结果：定理 1. 设 X 为正规空间且 dim X=n，m\geq n+1。则所有从 X 到 R^m 的有界映射构成的空间 C*(X,R^m)（赋予一致收敛拓扑）包含一个稠密 G_{\delta} 子集，由满足如下条件的映射 g 组成：对 R^m 中每个 d 维平面 \Pi^d（其中 m-n\leq d\leq m），\bar{g(X)}\cap\Pi^d 的维数至多为 (n+d-m)。定理 2. 设 X 为可度量化紧统且 dim X\leq n，m\geq n+1。则 C(X,R^m) 包含一个稠密 G_{\delta} 子集的映射 g，使得对任意整数 t,d,T 满足 0\leq t\leq d\leq m-n-1 且 d\leq T\leq m，以及任意平行于 R^m 中某坐标平面 \Pi^t\subset\Pi^T 的 d 平面 \Pi^d\subset R^m，原像 g^{-1}(\Pi^d) 至多含 q 个点，其中若 n\geq (m-n-T)(d-t) 则 q=d+1-t+\frac{n+(n+T-m)(d-t)}{m-n-d}，否则 q=1+\frac{n}{m-n-T}。当 m=2n+1 时，定理 1 与 Nöbeling--Pontryagin 嵌入定理相结合给出了 Roberts 定理的推广。定理 2 推广了以下结果：Nöbeling--Pontryagin 嵌入定理（d=0, m=T\geq 2n+1）；Hurewicz 关于映入 Euclidean 空间且原像基数小的映射的定理（d=0, n+1\leq m=T\leq 2n）；Boltyanski 关于 k-正则映射的定理（d=k-1, t=0, T=m\geq nk+n+k）以及 Goodsell 关于特殊嵌入存在性的定理（t=0, T=m）。也建立了定理 2 的无限维类比。我们的结果基于下文的定理 1.1，该定理被视为横截 Tverberg 定理的逆命题，并蕴含 Berkowitz-Roy 定理。