由素数生成的傅里叶曲线的刚性几何障碍

我们研究由形式为 $F_n(t)=\sum_{p\le n} v_p(n!)\, e^{i p t}$ 的有限傅里叶级数定义的平面曲线，其中频率为素数，$v_p(n!)$ 表示素数 $p$ 在 $n!$ 因式分解中的指数。我们在 $n\to\infty$ 时建立了若干严格的几何规律性障碍。特别是，我们证明曲线长度无限增长，一次导数与二次导数均不保持均匀有界，直径至少以 $n\log\log n$ 的阶级增长。作为结果，曲线的覆盖数满足显式的定量下界。这些结果为数值研究中观察到的复杂几何行为提供了严格的解释。