形状记忆合金中分支微结构的刚性

我们分析在极限 $\eta \to 0$ 时，几何线性能量 $$E_\eta(u,\chi):= \eta^{-\frac{2}{3}}\int_{B_{0}(1)} \left| e(u)- \sum_{i=1}^3 \chi_ie_i\right|^2 d x+\eta^\frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 |D\chi_i|(B_{0}(1))$$ 保持有界的通用序列。这里 $e(u) :=1/2(Du + Du^T)$ 是位移 $u$ 的（线性化）应变，应变 $e_i$ 对应于经历立方到四方相变的形状记忆合金的马氏体应变，且 $\chi_i:B_{0}(1) \to \{0,1\}$ 是相的划分。在此情形下，已知除简单层状结构外也可能出现分支结构，而若存在奥氏体，此类结构将使合金能够形成惯习面。我们以无ansatz的方式证明，马氏体孪晶之间宏观界面的排列正如众所周知的秩一条件所预测的那样。我们的证明通过非凸、非离散值的微分包含 $$e(u) \in \bigcup_{1\leq i\neq j\leq 3} \operatorname{conv} \{e_i,e_j\}$$ 进行，该包含由有界能量序列的弱极限满足，我们对其所有解进行了分类。特别地，该包含不存在具有复杂几何结构的凸积分解。