马氏体相变二维模型中条纹状周期极小化子

本文考虑一个简化的二维标量模型，用于描述马氏体形状记忆合金中母相（奥氏体）区域与产物相（马氏体）区域界面处介观畴图案的形成，其中产物相可以两种变体（孪晶）形式出现。该模型由 Kohn 和 Mueller 首次提出，由以下泛函定义：$${\cal E}(u)=\beta||u(0,\cdot)||^2_{H^{1/2}([0,h])}+ \int_{0}^{L} dx \int_0^h dy \big(|u_x|^2 + \epsilon |u_{yy}| \big)$$ 其中 $u:[0,L]\times[0,h]\to R$ 在 $y$ 方向具有周期性且几乎处处满足 $u_y=\pm 1$。Conti 证明，若 $\beta\gtrsim\epsilon L/h^2$，则当 $(\epsilon/L)\to 0$ 时，最小比能量按 $\sim \min\{(\epsilon\beta/L)^{1/2}, (\epsilon/L)^{2/3}\}$ 标度。在 $(\epsilon\beta/L)^{1/2}\ll (\epsilon/L)^{2/3}$ 的区域，我们通过精确计算最小能量并证明极小化子为周期性一维锯齿函数，改进了 Conti 的结果。