含表面能项的材料微结构模型中局部极小元与低能路径

研究了一族积分泛函 $F$，它们以简化方式模拟占据二维区域 $D$ 的材料微结构，并考虑了表面能和可变势阱深度。结果表明，存在一个临界势阱深度（其与表面能密度和区域尺寸的标度关系已给出），低于该深度时，状态 $u=0$ 是 $F$ 类中典型泛函 $f$ 的全局极小元。还证明了 $u=0$ 是 $f$ 的严格局部极小元，即：若非零 $v$ 是允许的，且其 $L^2$ 范数或 $D$ 中 $|v_y|$ 超过 1 的子集的测度足够小（定量界限以能量泛函 $f$ 中出现的参数给出），则 $f(v) > f(0)$。给出了 $u=0$ 与全局极小元（在势阱深度足够大的情况下）之间的低能路径，使得在区域 $D$ 中引入 $|v_y|$ 大于 1 的小区域（类似于奥氏体中马氏体的成核）的成本可以任意小。