固定秩PSD矩阵采样的黎曼朗之万蒙特卡洛格式

本文提出两种显式格式，用于从$\mathcal S^{n,p}_+$上的吉布斯分布中采样矩阵，该流形为尺寸$n\times n$、秩$p$的实半正定（PSD）矩阵集合。给定能量函数$\mathcal E:\mathcal S^{n,p}_+\to \mathbb{R}$及$\mathcal S^{n,p}_+$上的某些黎曼度量$g$，这些格式依赖于流形上带布朗运动的黎曼朗之万方程（RLE）的Euler-Maruyama离散化。我们针对$\mathcal S^{n,p}_+$上的两种基本度量给出RLE的数值格式：（a）由嵌入$\mathcal S^{n,p}_+ \subset \mathbb{R}^{n\times n}$得到的度量；（b）对应于商几何的Bures-Wasserstein度量。我们还提供了具有显式吉布斯分布的能量函数示例，以便对这些格式进行数值验证。