求解半定规划的黎曼朗之万算法

我们提出一种基于朗之万扩散的算法，用于在球面乘积流形上进行非凸优化与采样。在对数 Sobolev 不等式下，我们建立了有限次迭代收敛到 Gibbs 分布的 KL 散度保证。我们证明在恰当的温度选择下，到全局最小值次优间隙以高概率被保证为任意小。作为一个应用，我们考虑用于求解带对角约束半定规划（SDP）的 Burer–Monteiro 方法，并分析所提朗之万算法对该非凸目标的优化。特别地，我们在无伪局部极小但存在鞍点的情况下为 Burer–Monteiro 问题建立对数 Sobolev 不等式。结合上述结果，我们进而为 SDP 与 Max-Cut 问题提供全局最优性保证。更确切地说，我们证明朗之万算法以高概率在 $\widetilde{\Omega}( \epsilon^{-5} )$ 次迭代内达到 $\epsilon$ 精度。