未调整朗之万算法的快速收敛：等周性即足够

我们研究未调整朗之万算法（ULA）以从 $\mathbb{R}^n$ 上的概率分布 $\nu = e^{-f}$ 中采样。我们证明了在 KL（Kullback-Leibler）散度下的收敛保证，假设 $\nu$ 满足对数 Sobolev 不等式且 $f$ 的 Hessian 有界。值得注意的是，我们不假设凸性或高阶导数有界。我们还证明了在阶数 $q > 1$ 的 Rényi 散度下的收敛保证，假设 ULA 的极限满足对数 Sobolev 或 Poincaré 不等式。我们还证明了在 $f$ 三阶光滑的假设下 ULA 极限分布的偏置界，无需等周性。