流形上朗之万动力学的快速收敛：测地线与对数 Sobolev 不等式的交汇

采样是机器学习中一项基础且可以说非常重要的任务，有着众多应用。对于某个函数 $f$，从高维分布 $e^{-f}$ 中采样的一种方法是朗之万算法（LA）。最近，在证明 LA 快速收敛方面取得了大量进展，即使在 $f$ 非凸的情况下也是如此，尤其是 [53]、[39]，其中前者关注定义在 $\mathbb{R}^n$ 中的函数 $f$，后者关注具有流形结构的对称函数（如矩阵补全类目标）。我们的工作推广了 [53] 的结果，其中 $f$ 定义在流形 $M$ 上而非 $\mathbb{R}^n$。从技术角度看，我们证明了只要分布 $e^{-f}$ 在 $M$ 上满足对数 Sobolev 不等式，KL 散度便以几何速率下降。