非凸情形下修正驯服非调整朗之万算法的非渐近收敛界

我们考虑利用基于朗之万随机微分方程（SDE）离散化的显式数值格式，从 $\mathbb{R}^d$ 上密度正比于 $\theta\mapsto e^{-\beta U(\theta)}$ 的高维目标分布 $\pi_\beta$ 中采样的问题。在近期文献中，驯服（taming）被提出并研究作为一种在朗之万 SDE 的漂移系数超线性增长情形下保证基于朗之万的numerical格式稳定性的方法。特别地，[Bro+19] 中提出了驯服非调整朗之万算法（TULA）以从该梯度势能 $U$ 超线性增长的目标分布中采样。然而，基于朗之万算法在 Wasserstein 距离上的理论保证传统上是在假设势能 $U$ 强凸的条件下推导的。本文中，我们提出一种新颖的驯服因子，并在势能 $U$ 可能非凸且 $U$ 的梯度超线性增长的设定下，推导了我们的算法（命名为修正驯服非调整朗之万算法（mTULA））与目标分布 $\pi_\beta$ 之间在 Wasserstein-1 与 Wasserstein-2 距离上的非渐近理论界。对于 mTULA 在步长 $\lambda$ 下的离散化误差，我们在 Wasserstein-1 与 Wasserstein-2 距离上分别获得了 $\mathcal{O}(\lambda)$ 与 $\mathcal{O}(\lambda^{1/2})$ 的收敛速率。我们给出了支持理论发现的高维数值模拟，以展示算法的适用性。