黎曼零点作为含杂质散射的量子化能量

我们构造了一个单粒子与分布在圆周上的杂质发生散射的可积物理模型。该散射过程的 $S$-矩阵使得由贝特拟设方程给出的该系统量子化能量，对应于黎曼 $\zeta(s)$ 函数在复 $s$-平面轴 $\Re ( s )= \half$ 上的非平凡零点的虚部。对原散射问题的一个简单而自然的推广，则导致贝特拟设方程的解再次沿轴 $\Re (s) = \half$ 给出狄利克雷 $L$-函数的非平凡零点。这些函数的所有非平凡零点都排列在该复 $s$-平面轴上的猜想被称为广义黎曼猜想（GRH）。在本文分析的散射问题语言中，GRH 的成立等价于贝特拟设方程的完备性。此外，认为 GRH 的成立需要狄利克雷 $L$-函数的对偶方程（即映射 $s \rightarrow 1 - s$）和欧拉乘积表示的想法，从本文分析的物理散射模型获得了额外且新颖的支持。通过采用达文波特-海尔布隆函数 $\CD (s)$（即其完备化满足对偶方程 $\chi(s) = \chi(1-s)$ 但不具有欧拉乘积表示的函数）的贝特拟设方程解所提供的显式反例，进一步说明了这一点。在这种情况下，尽管沿轴 $\Re (s) = \half$ 存在无穷多贝特拟设方程的解，但也存在无穷多对该轴之外且关于该轴对称放置的解。