Riemann-Finsler 与 Lagrange gerbe 及 Atiyah--Singer 定理

本文中，非完整 gerbe 将自然导出至带有不可积分布的流形与向量丛空间（简言之，非完整空间）。此类 gerbe 的一个重要例子关联到定义非线性联络（N-联络）结构的分布。它们在几何上统一并发展了 Riemann-Cartan 流形与 Lagrange-Finsler 空间的概念。非完整空间上存在自旋结构的障碍恰为第二 Stiefel-Whitney 类，由对应于一个 $\mathbb{Z} /2$ gerbe 的上闭链定义，称为非完整自旋 gerbe。非完整 gerbe 典范地装备有 N-联络、Sasaki 型度量、典范线性联络以及（对奇维空间）殆复结构。非完整自旋结构与 gerbe 的研究兼具几何与物理应用。我们的目的是证明此类非完整空间上的 Atiyah--Singer 定理。