锥面上的 Ricci 流与一个三维扩张孤立子

本论文的主要目标是研究具有锥型奇点的曲面在 Ricci 流下的演化。我们使用技术中产生的第二个目标是研究二维和三维 Ricci 流孤立子族。Ricci 流是由 R. Hamilton 于 1982 年引入的黎曼流形演化方程。自 2002 年 G. Perelman 利用该技术取得成就以来，Ricci 流已确立为一门独立学科，引起了学术界的极大兴趣。本论文包含四项原创结果。第一项结果是光滑与锥面上孤立子的完全分类。该分类完善了 Hamilton、Chow、Wu 等人先前的结果，我们得到了二维所有孤立子的显式描述。第二项结果是利用 Ricci 流对锥面进行几何化。该结果使用了前述第一项结果，将 Hamilton 的理论推广到奇异情形。这是本论文中最全面的结果，为此我们使用并发展了分析和 PDE 技术，以及比较几何技术。第三项结果是存在一种去除锥奇点的 Ricci 流。这清楚地揭示了流的解的非唯一性，类似于 P. Topping 的带尖点 Ricci 流。第四项结果是构造了一个三维新的扩张梯度 Ricci 孤立子。正如我们对锥面上孤立子所做的那样，我们利用相图技术给出了显式构造。我们还证明了这是在其拓扑和曲率下界条件下唯一的孤立子，并且它是所有具有曲率下界的三维扩张孤立子中的临界情形。