有限射影平面中的分辨集与半分辨集

我们证明了阶为 $q\geq 23$ 的有限射影平面的度量维数为 $4q-4$，并描述了该大小的所有分辨集。令 $\tau_2$ 表示 $\mathrm{PG}(2,q)$（即阶为 $q$ 的 Desargues 射影平面）中最小二重阻塞集的大小。我们证明，对于 $\mathrm{PG}(2,q)$ 关联图中的半分辨集 $S$，成立 $|S|\geq \min \{2q+q/4-3, \tau_2-2\}$。特别地，如果 $q\geq9$ 是一个平方数，则 $\mathrm{PG}(2,q)$ 中最小的半分辨集的大小为 $2q+2\sqrt{q}$。