分段常系数声学算子的预解式、谱与共振

我们研究声学算子 $A_{v,\rho }:=v^{2}\rho\nabla\!\cdot\rho^{-1}\nabla$，其在 $\Omega=\Omega_{1}\cup\dots\cup\Omega_{n}$ 的边界上满足传输条件，其中 $\Omega_{\ell}$ 为连通的不相交有界 Lipschitz 开区域，正函数 $v$ 和 $\rho$ 在 $\Omega$ 的每个连通分量上为常数，且在 ${\mathbb R}^{3}\backslash\overline\Omega$ 上 $v=\rho=1$。通过预解式之差的公式 $(-A_{v,\rho }+z)^{-1}-(-\Delta+z)^{-1}$，我们给出了极限吸收原理，确定了其谱（结果为纯绝对连续谱），并在 $\Omega$ 的连通分量属于 ${\mathcal C}^{1,\alpha}$ 类的情况下刻画了共振集。本文的第二部分致力于 $\Omega=\Omega(\varepsilon)$ 为具有微小尺寸 $\varepsilon$ 的连通区域，且 $\varepsilon$-解析函数 $v=v(\varepsilon)$ 和/或 $\rho=\rho(\varepsilon)$ 在 $\varepsilon\downarrow 0$ 时于 $\Omega(\varepsilon)$ 内部收敛至 $0_{+}$ 的情形；在此，我们根据材料参数趋近于零的不同收敛速率，给出了 $A_{v,\rho }$ 共振的解析 $\varepsilon$-展开式。