乘积集族的代表集

一个集族 ${\cal F}$ 的子族 ${\cal F}'$ 被称为 $q$-{\em 代表} ${\cal F}$，如果对于每个 $A \in {\cal F}$ 和大小为 $q$ 且满足 $A \cap B = \emptyset$ 的 $B$，都存在一个集合 $A' \in {\cal F}'$ 使得 $A' \cap B = \emptyset$。在本文中，我们考虑 {\em 乘积} 集族 ${\cal F}$ 的 $q$-代表集的高效计算。一个集族 ${\cal F}$ 是乘积集族，如果存在集族 ${\cal A}$ 和 ${\cal B}$ 使得 ${\cal F} = \{A \cup B~:~A \in {\cal A}, B \in {\cal B}, A \cap B = \emptyset\}$。我们的主要技术贡献是一个算法，该算法给定 ${\cal A}$、${\cal B}$ 和 $q$，计算出 ${\cal F}$ 的一个 $q$-代表族 ${\cal F}'$。对于许多在若干动态规划算法中自然出现的 ${\cal A}$、${\cal B}$ 和 $q$ 的选择，我们算法的运行时间相对于 $|{\cal F}|$ 是亚线性的。我们还给出了一个算法，用于在更一般的设定下计算乘积集族 ${\cal F}$ 的 $q$-代表集，其中 $q$-代表除了不相交性之外还涉及拟阵中的独立性。该算法显著优于先由 ${\cal A}$ 和 ${\cal B}$ 计算 ${\cal F}$，再从 ${\cal F}$ 计算 $q$-代表族 ${\cal F}'$ 的朴素方法。我们给出了新算法在计算乘积集族的 $q$-代表集方面的两个应用。第一个是用于多线性单项式检测 ($k$-MlD) 问题的 $3.8408^{k}n^{O(1)}$ 确定性算法。第二个是对有界树宽图上“连通性问题”的确定性动态规划算法的显著改进。