关于内积谓词与匹配向量族的推广

受谓词加密等密码学应用的推动，我们考虑将任意谓词表示为两个向量上的内积谓词的问题。具体地，固定一个布尔函数 $P$ 与某个模数 $q$。我们关注将 $x$ 编码为 $\vec x$、$y$ 编码为 $\vec y$，使得 $$P(x,y) = 1 \Longleftrightarrow \langle\vec x,\vec y\rangle= 0 \bmod q,$$ 其中向量应尽可能短。该问题也可视为匹配向量族的推广，后者对应于相等谓词。匹配向量族已用于 Ramsey 图、私有信息检索（PIR）协议以及近期的秘密共享的构造中。我们的主要结果是一个简单的下界，由此可证明密码学文献中考虑的许多谓词（如大于与阈值）在素数模 $q$ 下的已知编码本质上是最优的。利用该方法，我们还证明了复合 $q$ 下编码的下界，并给出了大于、索引与不相交等谓词的紧上界。