奇数个变量下某些对角二次型对平方数的表示

本文考虑如下对角二次型 \begin{equation*} a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + \cdots + a_{\ell}x_{\ell}^2, \end{equation*} 其中 $\ell\ge 5$ 为奇数且 $a_i\ge 1$ 为整数。利用扩展的 Shimura 对应，我们得到了上述类型二次型表示 $|D|n^2$ 的表示个数的显式公式，其中 $D$ 为无平方因子整数或基本判别式，且满足 $(-1)^{(\ell-1)/2}D > 0$。我们用许多例子演示了我们的方法，特别地，我们得到了 Cooper-Lam-Ye（Acta. Arith. 2013）工作中获得的所有公式（当 $\ell =5$ 时），以及他们在（Integers, 2013）中当 $n$ 为偶数时得到的关于 $n^2$ 的所有表示公式。Cooper 等人的工作利用某些 theta 函数恒等式结合 Hurwitz 方法推导这些公式。需注意，我们的方法在任意系数 $a_i$ 下均普遍适用。作为某些公式的推论，我们得到了表示数之间的一些恒等式，以及涉及权为 $6, 8$ 的某些新形式 Fourier 系数与除数函数的一些同余式。