单位根处量子对称对的表示

设 $\theta$ 是复半单李代数 $\mathfrak{g}$ 的一个对合，$(\mathrm{U}_v,\mathrm{U}^\imath_v)$ 是其在奇单位根 $v$ 处关联的量子对称对。本文推广了 De Concini-Kac-Procesi 关于量子群的方法，研究了 i-量子群 $\mathrm{U}^\imath_v$ 的结构和不可约表示。我们建立了 $\mathrm{U}^\imath_v$ 的一个 Frobenius 中心，作为量子群 $\mathrm{U}_v$ 的 Frobenius 中心的余理想子代数。通过量子 Frobenius 映射，我们证明了 $\mathrm{U}^\imath_v$ 的 Frobenius 中心同构于对偶 Poisson-Lie 群 $G^*$ 的 Poisson 齐性空间 $\mathcal{X}$ 的坐标代数。我们在 $\mathrm{U}^\imath_v$ 上定义了一个滤过，使得其相伴分次代数是 $q$-交换的。利用此滤过，我们证明了 $\mathrm{U}^\imath_v$ 的整个中心由 Frobenius 中心和 Kolb-Letzter 中心生成，并确定了 $\mathrm{U}^\imath_v$ 的次数。我们证明了 $\mathrm{U}^\imath_v$ 的不可约表示由 $\theta$-扭共轭类参数化。我们确定了这些不可约表示的最大维数，并证明了当相应的扭共轭类具有最大维数时，不可约表示的维数达到最大。我们还研究了将不可约 $\mathrm{U}_v$-模限制到 $\mathrm{U}^\imath_v$ 时的分支问题。