量子场论中行列式线的重正化

在紧流形 $M$ 上,我们考虑某个作用于某 Hermitian 丛的截面上的可逆椭圆算子的非自伴扰动的仿射空间 $A$,扰动由某个低阶微分算子给出。我们构造并分类了 Fréchet 空间 $A$ 上所有恰在非可逆元素处为零、具有最小阶且通过局域重正化(一个来自量子场论的概念,称为重正化行列式)得到的复解析函数。有限阶局域多项式泛函的加法群在重正化行列式空间上自由且可递地作用。我们给出了重正化行列式在谱 zeta 行列式、高斯自由场、无穷乘积以及 Epstein-Glaser 式位置空间微扰论中的重正化 Feynman 振幅等方面的不同表示。专门考察与矢量势耦合的 Dirac 算子情形,并将结果用行列式线丛重新表述,我们证明了我们的重正化行列式定义了 $A$ 上某个全纯线丛的复解析平凡化,从而将我们的结果与 Quillen [52] 1989 年 4 月未发表笔记中的一个猜想性图景联系起来。