量子场论中的重整化与Riemann-Hilbert问题II：β-函数、微分同胚与重整化群

我们在第一部分（hep-th/9912092）中证明了给定QFT中费曼图的Hopf代数${\cal H}$是复无限维李群$G$上的坐标代数，并且重整化理论是通过在$\ve=0$处评估由维数正则化给出的环$\gamma(\ve)\in G$的Riemann-Hilbert分解$\gamma_-(\ve)^{-1}\gamma_+(\ve)$的全纯部分$\gamma_+(\ve)$而得到的。本文证明群$G$自然地作用于理论的无量纲耦合常数的复空间$X$上。更精确地说，有效耦合常数的公式$g_0=gZ_1Z_3^{-3/2}$，当被视为形式幂级数时，定义了形式微分同胚群坐标的Hopf代数与Hopf代数${\cal H}$之间的一个Hopf代数同态。这首先允许直接读出裸耦合常数和重整化耦合常数，而无需使用群$G$，只需将未重整化的有效耦合常数视为形式微分同胚的环，并取其Riemann-Hilbert分解。这表明重整化与维数正则化参数$\ve$的Riemann球面上的非线性复丛理论密切相关。它还允许将重整化群和β-函数提升为群$G$中的渐近标度。这充分利用了Riemann-Hilbert分解的全部威力以及$\gamma_-(\ve)$在质量单位变化下的不变性。这不仅为重整化群的存在性提供了概念性证明，而且为最小减除计数项的全高阶极点结构提供了一个散射公式，该公式以留数的形式给出。