分层相互作用 Cannings 过程的重正化

本文聚焦于一类新的相互作用跳跃过程。我们从单群落 $C^\Lambda$-过程出发，该过程源于基于个体的 $\Lambda$-Cannings 种群模型的连续质量极限，其中 $\Lambda$ 是描述后代机制的有限非负测度。随后，我们引入分层相互作用的 $C^\Lambda$-过程系统，其相互作用源于迁移以及基于测度 $(\Lambda_k)_{k}$ 的重排 - 重采样，两者均作用于分层群的 $k$-块中。我们将此系统称为 $C_N^{c,\Lambda}$-过程。$C_N^{c,\Lambda}$-过程的对偶过程是具有多级块合并的空间合并过程。对于上述系统，我们在分层平均场极限 $N\to\infty$ 下进行了完整的重正化分析。我们的主要结果是：在 $N\to\infty$ 的极限下，对于每个尺度 $k\in\mathbb{N}_0$，$C_N^{c,\Lambda}$-过程的 $k$-块平均值收敛于一个随机过程，该过程是 $C^{\Lambda_k}$-过程与 Fleming-Viot 过程的叠加；后者具有波动率 $d_k$，并具有强度为 $c_k$、指向极限 $(k+1)$-块平均值的漂移。结果表明，$d_k$ 是所有 $0\leq l<k$ 的 $c_l$ 和 $\Lambda_l$ 的函数。因此，重正化正是通过波动率体现出来的。我们讨论了 $d_k$ 的标度对 $C_N^{c,\Lambda}$-过程在大时空尺度上行为的影响。我们将结果与分层相互作用 Fleming-Viot 扩散的重正化分析已知结果进行比较，指出了若干新特征。我们获得了关于过程何时表现出聚集、何时表现出局部共存的新分类。最后，我们证明了对于有限 $N$，聚集与局部共存之间的这种二分法与 $N\to\infty$ 时的情形一致。