随机约束满足问题聚类相变的渐近行为

随机约束满足问题在其约束密度变化时会出现若干相变。其中被称为聚类或动态相变的阈值现象，对应于一个称为树重构的信息论问题的相变。本文研究两个 CSP 的该阈值：密度为 $\alpha$ 的约束的 $k$-一致超图双着色，以及平均度为 $c$ 的随机图的 $q$-着色。我们证明在大 $k,q$ 极限下，聚类相变发生于 $\alpha = \frac{2^{k-1}}{k} (\ln k + \ln \ln k + \gamma_{\rm d} + o(1))$，$c= q (\ln q + \ln \ln q + \gamma_{\rm d}+ o(1))$，其中 $\gamma_{\rm d}$ 对两个模型为同一常数。我们通过一个函数方程刻画 $\gamma_{\rm d}$，数值求解该方程估计 $\gamma_{\rm d} \approx 0.871$，并得到解析下界 $\gamma_{\rm d} \ge 1 + \ln (2 (\sqrt{2}-1)) \approx 0.812$。我们的分析揭示了聚类相变与在同一渐近尺度 $\gamma_{\rm r}=1$ 处发生的刚性（朴素重构）阈值之间的微妙相互作用。