关于高色有向图中双纺锤与双块圈细分的注记

一个 $(2+1)$-双纺锤 $B(k_1,k_2;k_3)$ 是两条长度分别为 $k_1$ 和 $k_2$ 的 $xy$-有向路与一条长度为 $k_3$ 的 $yx$-有向路的并，且这些有向路两两内部不相交。近来，Cohen 等人猜想：对每一组正整数 $k_1, k_2, k_3$，存在一个整数 $g(k_1, k_2, k_3)$，使得每个不包含 $B(k_1, k_2; k_3)$ 细分的有强连通有向图的色数至多为 $g(k_1, k_2, k_3)$，并且他们仅证明了 $k_2=1$ 的情形。对于哈密顿有向图，我们证明了 Cohen 等人的猜想，即 $g(k_1, k_2, k_3)\leq 4k$，其中 $k=\max\{k_1, k_2, k_3\}$。一个双块圈 $C(k_1,k_2)$ 是两条内部不相交、长度分别为 $k_1$ 和 $k_2$ 的 $xy$-有向路的并。Addario 等人询问：不包含双块圈 $C(k_1,k_2)$ 细分的有强连通有向图的色数是否可由 $O(k_1+k_2)$ 从上界控制，这仍是一个开放问题。假设 $k=\max\{k_1,k_2\}$，由 Kim 等人得到的最佳已知上界为 $12k^2$。本文中，我们猜想该上界可略微改进为 $4k^2$，并在若干特殊情形下证实了我们的猜想。此外，对于具有哈密顿有向路的有向图类，我们对 Addario 等人的问题给出了肯定回答。