关于随机游走在退出时刻前游程与多重游程的注记

我们考虑 ${\mathbb Z}^d$（$d\geq 2$）上简单随机游走在退出形如 $D_N = ND$（其中 $D\subset {\mathbb R}^d$）的域 $D_N$ 的时刻之前，其游程与 $p$-重游程（即被访问过的点数以及恰好被访问 $p\geq 1$ 次的点数）的缩放行为，当 $N\uparrow\infty$ 时。近期论文讨论了游程及相关统计量与高斯自由场之间的联系，特别指出在 $d\geq 3$ 中 $D$ 为立方体的情形下，游程的分布缩放极限正比于布朗运动的退出时间。本注记旨在给出一个简洁且不同的论证：在 $d\geq 2$ 的一般设定下，缩放后的游程与多重游程均弱收敛于布朗运动从 $D$ 退出的成比例退出时间，并且相应的极限矩是“多调和的”，即求解一组泊松方程层级。