关于 Borel 子代数的交换理想的一些注记

设 $\frb$ 为有限维复单李代数 $\frg$ 的一个固定 Borel 子代数。Shi 对射将 $\frb$ 的每个 ad-幂零理想 $\fri$ 关联到一个区域 $V_{\fri}$。在本文中，我们证明 $\fri$ 是交换的当且仅当 $V_{\fri}\cap 2A$ 为空集，当且仅当 $V_{\fri}\cap 2A$ 的体积等于 $A$ 的体积，其中 $A$ 是仿射 Weyl 群的基本 alcove。对于某些交换理想的 flag，我们记录了其关联区域的递升性质。我们还确定了 Casimir 算子作用于 $\wedge^{r-1} \frg$ 上的最大特征值 $m_{r-1}$ 及其对应的特征空间 $M_{r-1}$，其中 $r$ 是正根的数目。