关于细长体理论中正则化Stokeslet的注记

我们就正则化Stokeslet在半径为 $\epsilon>0$ 的细纤维周围Stokes流细长体理论（SBT）近似中的使用作一注记。将正则化参数记为 $\delta$，我们考虑基于最常见的正则化Stokeslet加正则化偶极子修正的正则化SBT。给定沿细丝足够光滑的力数据，我们推导了正则化SBT与其经典对应项之间差异的 $L^\infty$ 界，以 $\delta$、$\epsilon$ 和力数据表示。我们表明，细丝自身速度的正则化与经典表达式相差一个正比于 $\log(\delta/\epsilon)$ 的项——特别地，为避免理论间 $O(1)$ 的差异，必须有 $\delta=\epsilon$。然而，纤维表面的流动相差一个正比于 $\log(1+\delta^2/\epsilon^2)$ 的表达式，且任何 $\delta\propto\epsilon$ 的选取都会随着 $\epsilon\to 0$ 导致 $O(1)$ 的差异。因此，由正则化SBT产生的细纤维周围流动并不收敛到经典SBT已知所近似的适定\emph{细长体偏微分方程}的解。数值实验验证了这一 $O(1)$ 差异，但也表明该差异在实践中可能影响甚微。