具自由端细杆理论的论证与误差分析

细杆理论是黏性流体中细纤维计算模型的常用近似，尤其在模拟游动微生物的纤毛或鞭毛运动时。在 [23] 中，我们发展了用于分析具恒定半径 $\epsilon$ 的闭环纤维由细杆近似引入的误差的 PDE 框架，并表明我们的闭环 PDE 解与细杆近似之间的差异以正比于 $\epsilon|\log\epsilon|$ 的表达式为界。此处我们将细杆 PDE 框架推广至自由端点情形，从建模角度看其更具物理相关性，但在技术上比闭环分析要求更高。自由端点情形下出现的主要新困难在于定义端点几何、确定一维细杆力密度的范围，以及判定适定性常数如何依赖于非恒定纤维半径。给定满足纤维端点某些几何约束的细杆以及满足端点衰减条件的一维力密度，我们给出了自由端点情形下细杆 PDE 解与细杆近似之差的界。该界为闭环情形中出现的相同 $\epsilon|\log\epsilon|$ 项与一个正比于 $\epsilon$ 的端点项之和，其中 $\epsilon$ 现为最大纤维半径。